Mục lục
DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (ax + b < 0)
Ví dụ:
Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:
a) (mx + 6 le 2x + 3m)
b) (left( {x + m} right)m + x > 3x + 4)
c) (left( {{m^2} + 9} right)x + 3 ge mleft( {1 – 6x} right))
Hướng dẫn:
a) Bất phương trình tương đương với (left( {m – 2} right)x < 3m – 6)
Với (m = 2) bất phương trình trở thành (0x le 0)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).
Với (m > 2) bât phương trình tương đương với (x < frac{{3m – 6}}{{m – 2}} = 3)
Với (m < 2) bât phương trình tương đương với (x > frac{{3m – 6}}{{m – 2}} = 3)
Kết luận
(m = 2) bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x)(có tập nghiệm là (S = mathbb{R})).
(m > 2) bât phương trình có nghiệm là (x < 3)(có tập nghiệm là (S = left( { – infty ;3} right)))
(m < 2) bât phương trình có nghiệm là (x > 3)(có tập nghiệm là (S = left( {3; + infty } right)))
b) Bất phương trình tương đương với (left( {m – 2} right)x > 4 – {m^2})
Với (m = 2) bất phương trình trở thành (0x > 0)suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với (m > 2) bât phương trình tương đương với (x > frac{{4 – {m^2}}}{{m – 2}} = – m – 2)
Với (m < 2) bât phương trình tương đương với (x < frac{{4 – {m^2}}}{{m – 2}} = – m – 2)
Kết luận
(m = 2) bất phương trình vô nghiệm
(m > 2) bât phương trình có nghiệm là (x > – m – 2)
(m < 2) bât phương trình có nghiệm là (x < – m – 2)
c) Bất phương trình tương đương với ({left( {m + 3} right)^2}x ge m – 3)
Với (m = – 3) bất phương trình trở thành (0x ge – 6)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).
Với (m ne – 3) bât phương trình tương đương với (x ge frac{{m – 3}}{{{{left( {m + 3} right)}^2}}})
Kết luận
(m = – 3) bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).
(m ne – 3) bât phương trình có nghiệm là (x ge frac{{m – 3}}{{{{left( {m + 3} right)}^2}}}).
DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Ví dụ 1:
Giải các hệ bất phương trình sau:
a) (left{ begin{array}{l}5x – 2 > 4x + 55x – 4 < x + 2end{array} right.)
b) (left{ begin{array}{l}6x + frac{5}{7} < 4x + 7frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5end{array} right.)
c) (left{ begin{array}{l}x – 1 le 2x – 33x < x + 5frac{{5 – 3x}}{2} le x – 3end{array} right.)
Hướng dẫn:
a) Hệ bất phương trình tương đương với
(left{ begin{array}{l}5x – 2 > 4x + 55x – 4 < x + 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 7x < frac{3}{2}end{array} right.)
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với
(left{ begin{array}{l}6x + frac{5}{7} < 4x + 7frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < frac{{22}}{7}x < frac{7}{4}end{array} right. Leftrightarrow x < frac{7}{4})
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là (x < frac{7}{4})
d) Hệ bất phương trình tương đương với (left{ begin{array}{l}x ge 2x < frac{5}{2}x ge frac{{11}}{5}end{array} right. Leftrightarrow frac{{11}}{5} le x le frac{5}{2})
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là (frac{{11}}{5} le x le frac{5}{2}).
Ví dụ 2:
Tìm (m) để hệ bất phương trình (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{mleft( {mx – 1} right) < 2}{mleft( {mx – 2} right) ge 2m + 1}end{array}} right.) có nghiệm.
Hướng dẫn:
Hệ bất phương trình tương đương với (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}{{m^2}x ge 4m + 1}end{array}} right.)
Với (m = 0) ta có hệ bất phương trình trở thành (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}{0x ge 1}end{array}} right.) suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm
Với (m ne 0) ta có hệ bất phương trình tương đương với (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x < frac{{m + 2}}{{{m^2}}}}{x ge frac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}end{array}} right.)
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (frac{{m + 2}}{{{m^2}}} > frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} Leftrightarrow m < frac{1}{3})
Vậy (m < frac{1}{3}) là giá trị cần tìm.
DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
Ví dụ:
Cho bất phương trình (sqrt {x – 1} (x – 2m + 2) ge 0)
a) Giải bất phương trình khi (m = 2)
b) Tìm (m) để mọi (x in left[ {2;3} right]) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Hướng dẫn:
a) Khi (m = 2) bất phương trình trở thành (sqrt {x – 1} (x – 2) ge 0)
Bất phương trình tương đương với (left[ {begin{array}{*{20}{c}}{sqrt {x – 1} = 0}{left{ begin{array}{l}x – 1 ge 0x – 2 ge 0end{array} right.}end{array}} right.)
( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}{left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x ge 1}{x ge 2}end{array}} right.}end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}{x ge 2}end{array}} right.)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là ({rm{S}} = left{ 1 right} cup {rm{[}}2; + infty )).
b) Bất phương trình tương đương với (left[ {begin{array}{*{20}{c}}{sqrt {x – 1} = 0}{left{ begin{array}{l}x – 1 ge 0x – 2m + 2 ge 0end{array} right.}end{array}} right.)( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}{left{ begin{array}{l}x ge 1x ge 2m – 2end{array} right.}end{array}} right.)
+ TH1: (2m – 2 > 1 Leftrightarrow m > frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}{x ge 2m – 2}end{array}} right.)
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là (S = left{ 1 right} cup [2m – 2; + infty )).
Do đó mọi (x in left[ {2;3} right]) đều là nghiệm của bất phương trình (*)
( Leftrightarrow left[ {2;3} right] subset S Leftrightarrow 2m – 2 le 2 Leftrightarrow m le 2)
Suy ra (frac{3}{2} < m le 2) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH2: (2m – 2 = 1 Leftrightarrow m = frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}{x ge 1}end{array} Leftrightarrow x ge 1} right.)
Suy ra (m = frac{3}{2}) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH3: (2m – 2 < 1 Leftrightarrow m < frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}{x ge 1}end{array} Leftrightarrow x ge 1} right.)
Suy ra (m < frac{3}{2})thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là (m le 2).
Tôi là Minh Khánh Chuyên Viên Tư Vấn Tín Dụng Tại dichvuthetindung.vn. Với vai trò là một chuyên gia về lĩnh vực thẻ tín dụng và trong những chia sẻ của tôi qua các bài Blog. Hy vọng sẽ đem lại những kiến thức tốt nhất cho các bạn. Nếu có thắc mắc hay những câu hỏi, các bạn đừng ngần ngại comment hoặc gọi trực tiếp cho tôi tại đây nhé!